Precalcolo Esempi

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2} + 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $x - 2$ per $1$ .

$x - 2 = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x - 2 = \frac{A (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 3)$ per $1$ .

$x - 2 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 2 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$x - 2 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x - 2 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (x + 1)$ per $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + (B) (x + 1)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B$

Passaggio 1.8

Sposta $3 A$ .

$x - 2 = A x + B x + 3 A + B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = 3 A + B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A + B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 2 = 3 A + B$ con $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (1 - B) + B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 3 B$ e $B$ .

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $- 2 = 3 - 2 B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 - 2 B = - 2$ .

$3 - 2 B = - 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = - 5$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{5}{2}$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{5}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{2})$

$B = \frac{5}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{5}{2})$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 - 5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Sottrai $5$ da $2$ .

$A = \frac{- 3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{3}{2}, B = \frac{5}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{5}{2}}{x + 3}$