Precalcolo Esempi

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 (x) + 3}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 4$ più $- 6$ .

$\frac{x}{8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3}$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x}{8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x}{(8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x}{4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$\frac{x}{(2 x - 1) (4 x - 3)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x - 1) (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $4 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (4 x - 3)$ per $1$ .

$x = (A) (4 x - 3) + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A (4 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = 4 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$x = 4 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $4 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$x = 4 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Passaggio 1.7.5.2

Dividi $(B) (2 x - 1)$ per $1$ .

$x = 4 A x - 3 A + (B) (2 x - 1)$

Passaggio 1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$x = 4 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Passaggio 1.7.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Passaggio 1.7.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Passaggio 1.7.9

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - B$

Passaggio 1.8

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta $A$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 B x - B$

Passaggio 1.8.2

Sposta $B$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 x B - B$

Passaggio 1.8.3

Sposta $- 3 A$ .

$x = 4 x A + 2 x B - 3 A - B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A + 2 B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 A + 2 B = 1$ .

$4 A + 2 B = 1$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 A = 1 - 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1 - 2 B$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1 - 2 B$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 B$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 (2)}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 \cdot 2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.1.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 3 A - 1 B$ con $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ .

$0 = - 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 3 (\frac{1}{4}) - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 3 (- \frac{B}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + 3 (\frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.2

$3$ e $\frac{B}{2}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.5

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Per scrivere $- B$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$- B$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1.1

Scomponi $B$ da $3 B - B \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1.1.1

Scomponi $B$ da $3 B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.1.1.2

Scomponi $B$ da $- B \cdot 2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.1.1.3

Scomponi $B$ da $B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{3}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{B}{2} = \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$B = 2 (\frac{3}{2 (2)})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$B = 2 (\frac{3}{2 \cdot 2})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.3.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{3}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ con $\frac{3}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $\frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$A = \frac{1}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{1 - 3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$A = \frac{- 2}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$A = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{4 x - 3}$