Precalcolo Esempi

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $1$ più $- 6$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Passaggio 1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{4}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{4}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{4}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $4$ per $1$ .

$4 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 = \frac{A (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 3)$ per $1$ .

$4 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$4 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 = A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (2 x + 1)$ per $1$ .

$4 = A x - 3 A + (B) (2 x + 1)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 = A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 1$

Passaggio 1.7.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B$

Passaggio 1.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.8.1

Sposta $B$ .

$4 = A x - 3 A + 2 x B + B$

Passaggio 1.8.2

Sposta $- 3 A$ .

$4 = A x + 2 x B - 3 A + B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + 2 B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = - 3 A + B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + 2 B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$4 = - 3 A + B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 2 B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $4 = - 3 A + B$ con $- 2 B$ .

$4 = - 3 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 3 (- 2 B) + B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$4 = 6 B + B$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $6 B$ e $B$ .

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $4 = 7 B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $7 B = 4$ .

$7 B = 4$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 B = 4$ .

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{4}{7}$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - 2 B$ con $\frac{4}{7}$ .

$A = - 2 (\frac{4}{7})$

$B = \frac{4}{7}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- 2 (\frac{4}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2 (\frac{4}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

$- 2$ e $\frac{4}{7}$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 4}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{8}{7}, B = \frac{4}{7}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{8}{7}}{2 x + 1} + \frac{\frac{4}{7}}{x - 3}$