Precalcolo Esempi

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + i}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + 1 i}$ per il coniugato di $2 + 1 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i}$

Passaggio 2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Combina.

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Espandi $(1 + 2 i) (3 - i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 (3 - i) + 2 i (3 - i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 3 + 1 (- i) + 2 i (3 - i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 3 + 1 (- i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(3 + 1 (- i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $- i$ per $1$ .

$\frac{(3 - i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{(3 - i + 6 i + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $2 i (- i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 (i^{1} i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 (i^{1} i^{1})) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i^{1 + 1}) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i^{2}) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 \cdot - 1) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i + 2) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{(5 - i + 6 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $- i$ e $6 i$ .

$\frac{(5 + 5 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.3

Espandi $(5 + 5 i) (2 - i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (2 - i) + 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) + 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 + 5 (- i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $5 i (- i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 \cdot - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i + 5}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $10$ e $5$ .

$\frac{15 - 5 i + 10 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.2.4.3

Somma $- 5 i$ e $10 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Passaggio 2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $(2 + 1 i) (2 - i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{15 + 5 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{15 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{15 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Passaggio 2.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Passaggio 2.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 2.3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Passaggio 2.3.2.9

Somma $- 2 i$ e $2 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Passaggio 2.3.2.10

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - i^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - - 1}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 1}$

Passaggio 2.3.4

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{5}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $15 + 5 i$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 i}{5}$

Passaggio 3.2

Scomponi $5$ da $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 (i)}{5}$

Passaggio 3.3

Scomponi $5$ da $5 (3) + 5 (i)$ .

$\frac{5 (3 + i)}{5}$

Passaggio 3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (3 + i)}{5 (1)}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (3 + i)}{5 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + i}{1}$

Passaggio 3.4.4

Dividi $3 + i$ per $1$ .

$3 + i$