Precalcolo Esempi

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Completa il quadrato per $- 54 x + 9 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina $- 54 x$ e $9 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 54 x$

Passaggio 1.1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Passaggio 1.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 27}{9}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.1.4.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1

Eleva $- 54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Passaggio 1.1.5.2.1.3

Dividi $2916$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Passaggio 1.1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$e = 0 - 81$

Passaggio 1.1.5.2.2

Sottrai $81$ da $0$ .

$e = - 81$

Passaggio 1.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Passaggio 1.2

Sostituisci $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ a $- 54 x + 9 x^{2}$ nell'equazione $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Passaggio 1.3

Sposta $- 81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Passaggio 1.4

Somma $63$ e $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Passaggio 1.5

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.6

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Passaggio 5.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Passaggio 5.2.3

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

$\frac{3}{4}$ e $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Passaggio 5.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Passaggio 6.2.3

$x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Passaggio 6.2.4.2

$3$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 6.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ e $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Asintoti: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 9