Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ è indefinita.

$x = 3, x = 8$

Passaggio 2

Poiché $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $3$ da sinistra e $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $3$ da destra, allora $x = 3$ è un asintoto verticale.

$x = 3$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $8$ da sinistra e $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $8$ da destra, allora $x = 8$ è un asintoto verticale.

$x = 8$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = 3, 8$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2} - 11 x + 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $24$ e la cui somma è $- 11$ .

$- 8, - 3$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{(x - 8) (x - 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x - 8) (x - 3)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x (x - 3) - 8 (x - 3)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 (x - 3)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.4

Riordina $x$ e $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{1 + 1} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x + 24}$

Passaggio 8.2.10

Sottrai $8 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} - 55 x^{2} + 120 x$

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 44 x + 96$

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

$x$

$4$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$5 x + 4 + \frac{x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$

Passaggio 8.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 5 x + 4$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 3, 8$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 5 x + 4$

Passaggio 10