Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ è indefinita.

$x = - \frac{1}{2}, x = 2$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ da sinistra e $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ da destra, allora $x = - \frac{1}{2}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $2$ da sinistra e $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $2$ da destra, allora $x = 2$ è un asintoto verticale.

$x = 2$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + x$ .

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Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 8.1.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{1}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 8.1.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 8.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 8.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 8.1.2.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2}$

Passaggio 8.1.2.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}$

Passaggio 8.1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}$

Passaggio 8.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2}$

Passaggio 8.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}$

Passaggio 8.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}$

Passaggio 8.1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.2

Espandi $x (x^{2} + 1)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.2

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Passaggio 8.3

Espandi $(2 x + 1) (x - 2)$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x}{2 x (x - 2) + 1 (x - 2)}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.4

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.10

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x - 2}$

Passaggio 8.3.12

Somma $- 4 x$ e $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - x$

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

Passaggio 8.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $\frac{3 x^{2}}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4} - \frac{3}{2}$

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{17 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{\frac{17 x}{4} + \frac{3}{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{1}{2}, 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Passaggio 10