Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ è indefinita.

$x = - 2$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 5.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{x + 2}$

Passaggio 5.2

Espandi $(x - 4) (x + 1)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 1) - 4 (x + 1)}{x + 2}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (x + 1)}{x + 2}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.4

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} + 1 x - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 x - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 4 x - 4 \cdot 1}{x + 2}$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 4 x - 4}{x + 2}$

Passaggio 5.2.11

Sottrai $4 x$ da $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$3 x$

$4$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$5 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					-	$5 x$	-	$10$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x - 10$

				$x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$10$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$10$
							+	$6$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 5 + \frac{6}{x + 2}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 5$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 5$

Passaggio 7