Precalcolo Esempi

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} + 3 x^{3}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$x^{3} x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x + x^{3} \cdot 3$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot - 6 = 18$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 (x) - 6$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 2$ più $- 9$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} + (- 2 - 9) x - 6$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 2 x - 9 x - 6$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x^{2} - 2 x) - 9 x - 6$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{3} (x + 3) + x (- 3 x - 2) + 3 (- 3 x - 2)$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 x - 2$ .

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$

Passaggio 4

Scomponi $x + 3$ da $x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $x + 3$ da $x^{3} (x + 3)$ .

$(x + 3) x^{3} + (- 3 x - 2) (x + 3)$

Passaggio 4.2

Scomponi $x + 3$ da $(- 3 x - 2) (x + 3)$ .

$(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$

Passaggio 4.3

Scomponi $x + 3$ da $(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$ .

$(x + 3) (x^{3} - 3 x - 2)$

Passaggio 5

Scomponi.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $x^{3} - 3 x - 2$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x^{3} - 3 x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 5.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 5.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 5.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 5.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Passaggio 5.1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Passaggio 5.1.1.3.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$2 - 2$

Passaggio 5.1.1.3.5

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 5.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Passaggio 5.1.1.5

Dividi $x^{3} - 3 x - 2$ per $x + 1$ .

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Passaggio 5.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 5.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Passaggio 5.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 5.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 5.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 5.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 5.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 5.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 5.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Passaggio 5.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 5.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 5.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 5.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 5.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Passaggio 5.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 2$

Passaggio 5.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 3 x - 2$ come insieme di fattori.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - x - 2))$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $x^{2} - x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 5.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 3) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1)))$

Passaggio 5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) ((x + 1) (x - 2) (x + 1))$

Passaggio 5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) (x + 1) (x - 2) (x + 1)$

Passaggio 6

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) (x - 2)$

Passaggio 6.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) (x - 2)$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 3) {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Passaggio 6.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x + 3) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$