Precalcolo Esempi

$\log (x + 8) + \log (x - 1) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 8) (x - 1)) = 1$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + 8) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (x - 1) + 8 (x - 1)) = 1$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1 + 8 (x - 1)) = 1$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\log (x^{2} - 1 \cdot x + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\log (x^{2} - x + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\log (x^{2} - x + 8 x - 8) = 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $- x$ e $8 x$ .

$\log (x^{2} + 7 x - 8) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (x^{2} + 7 x - 8) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 7 x - 8$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 7 x - 8 = 10^{1}$ .

$x^{2} + 7 x - 8 = 10$

Passaggio 3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 7 x - 8 - 10 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $10$ da $- 8$ .

$x^{2} + 7 x - 18 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} + 7 x - 18$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $7$ .

$- 2, 9$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x + 9) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 9 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ .

$x + 9 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 9) = 0$ vera.

$x = 2, - 9$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x + 8) + \log (x - 1) = 1$ vera.

$x = 2$