Precalcolo Esempi

$\log (x) + \log (x - 30) = 3$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 30)) = 3$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 30) = 3$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 30) = 3$

Passaggio 1.3.2

Sposta $- 30$ alla sinistra di $x$ .

$\log (x^{2} - 30 x) = 3$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (x^{2} - 30 x) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{3} = x^{2} - 30 x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 30 x = 10^{3}$ .

$x^{2} - 30 x = 10^{3}$

Passaggio 3.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$x^{2} - 30 x = 1000$

Passaggio 3.3

Sottrai $1000$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 30 x - 1000 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} - 30 x - 1000$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 1000$ e la cui somma è $- 30$ .

$- 50, 20$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 50) (x + 20) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 50 = 0$

$x + 20 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 50$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 50$ uguale a $0$ .

$x - 50 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $50$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 50$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 20$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 20$ uguale a $0$ .

$x + 20 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 20$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 50) (x + 20) = 0$ vera.

$x = 50, - 20$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (x) + \log (x - 30) = 3$ vera.

$x = 50$