Precalcolo Esempi

$7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 7$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 11, \pm 1.\overline{571428}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1.\overline{571428}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1.\overline{571428}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1.\overline{571428}$ nel polinomio.

$7 \cdot {1.\overline{571428}}^{3} + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1.\overline{571428}$ alla potenza di $3$ .

$7 \cdot 3.88046647 + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $7$ per $3.88046647$ .

$27.1632653 + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1.\overline{571428}$ alla potenza di $2$ .

$27.1632653 + 3 \cdot 2.46938775 - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $3$ per $2.46938775$ .

$27.1632653 + 7.40816326 - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.6

Somma $27.1632653$ e $7.40816326$ .

$34.\overline{571428} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 29$ per $1.\overline{571428}$ .

$34.\overline{571428} - 45.\overline{571428} + 11$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $45.\overline{571428}$ da $34.\overline{571428}$ .

$- 11 + 11$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 11$ e $11$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1.\overline{571428}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $7 x - 11$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11}{7 x - 11}$

Passaggio 1.5

Dividi $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ per $7 x - 11$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$7 x$

$11$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$29 x$

$11$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			+	$7 x^{3}$	-	$11 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{3} - 11 x^{2}$

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $14 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$22 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $14 x^{2} - 22 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							-	$7 x$	+	$11$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x + 11$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							+	$7 x$	-	$11$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							+	$7 x$	-	$11$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 1.6

Scrivi $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ come insieme di fattori.

$(7 x - 11) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 x - 11 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $7 x - 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $7 x - 11$ uguale a $0$ .

$7 x - 11 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $7 x - 11 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $11$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = 11$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = 11$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{11}{7}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{11}{7}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{11}{7}$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} + 2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} + 2 x - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 x - 11) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{11}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{11}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 1.\overline{571428}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Forma numero misto:

$x = 1 \frac{4}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$