Precalcolo Esempi

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{x^{2} - 3 x - 10}$

Passaggio 1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 5, 2$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 2, x - 5, (x - 5) (x + 2)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x + 2, x - 5, x - 5, x + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 2) (x - 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 2) (x - 5)$ ciascun termine in $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$ per $(x + 2) (x - 5)$ .

$\frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 5)) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 5)) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x (x - 5) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Scomponi $x - 5$ da $(x + 2) (x - 5)$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x - 5) (x + 2)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x - 5) (x + 2)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 10 x + 5 (x + 2) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 10 x + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $5$ per $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + 5 x + 10 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 10 x$ e $5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x + 2) (x - 5)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(x + 2) (x - 5)$ da $(x - 5) (x + 2)$ .

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x + 2) (x - 5) (1)} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x + 2) (x - 5) \cdot 1} ((x + 2) (x - 5))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = 8$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 5 x + 10 - 8 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $8$ da $10$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi $- 5$ come $- 1$ più $- 4$ .

$2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

Passaggio 4.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1}{2}, 2$

Forma decimale:

$x = 0.5, 2$