Precalcolo Esempi

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica $2 \log_{4} (x + 4)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

Passaggio 5

Semplifica $4 (x + 12)$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

Passaggio 5.2

Moltiplica $4$ per $12$ .

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi ${(x + 4)}^{2}$ come $(x + 4) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.2

Espandi $(x + 4) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

Passaggio 6.3

Sottrai $4 x$ da $8 x$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

Passaggio 7.2

Sottrai $16$ da $48$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Passaggio 8

Sottrai $32$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Passaggio 9

Scomponi $x^{2} + 4 x - 32$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 32$ e la cui somma è $4$ .

$- 4, 8$

Passaggio 9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 12

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 8) = 0$ vera.

$x = 4, - 8$

Passaggio 14

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ vera.

$x = 4$