Precalcolo Esempi

$2 e^{2 x} + 5 e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} + 5 e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $5$ da $5 u$ .

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $5$ come $- 1$ più $6$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2 e^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $2 e^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2 e^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{x} = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 1$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 4

Imposta $e^{x} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $e^{x} + 3$ uguale a $0$ .

$e^{x} + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $e^{x} + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = - 3$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 3)$

Passaggio 4.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 3)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 3$

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$ vera.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimale:

$x = - 0.69314718 \dots$