Precalcolo Esempi

$2 e^{2 x} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e la cui somma è $b = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 7$ come $- 1$ più $- 6$ .

$2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 3) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2 e^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $2 e^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2 e^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{x} = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 1$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 4

Imposta $e^{x} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $e^{x} - 3$ uguale a $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $e^{x} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 3$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Passaggio 4.2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Passaggio 4.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (3)$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$ vera.

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Forma decimale:

$x = - 0.69314718 \dots, 1.09861228 \dots$