Precalcolo Esempi

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Passaggio 1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$(x + 1) (x - 1)$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ per $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $(x + 1) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Passaggio 3.2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Passaggio 3.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.2.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Passaggio 3.2.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Passaggio 3.2.3.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Passaggio 3.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Passaggio 3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $8 x - 3 x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina $8 x$ e $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $8 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.4

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e la cui somma è $b = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.1.1.2

Riscrivi $- 8$ come $1$ più $- 9$ .

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Passaggio 3.3.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.3.5

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.5.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 3.3.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.3.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ vera.

$x = 3$