Precalcolo Esempi

$\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x - 1}{x + 3}) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $(x - 1) x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 3.2.1.4.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - x = (x + 3) \cdot 1$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$x^{2} - x = x + 3$

Passaggio 3.2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - x - x = 3$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 3$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 3.2.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 3.2.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2.7

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.7.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.2.8

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.8.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2.8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.2.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$ vera.

$x = 3$