Precalcolo Esempi

$\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (x (x - 3)) = 2$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 3) = 2$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot - 3) = 2$

Passaggio 1.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 3 x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 3 x = 6^{2}$ .

$x^{2} - 3 x = 6^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} - 3 x = 36$

Passaggio 3.3

Sottrai $36$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 36$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 36)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 36$ .

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Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 36$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Somma $9$ e $144$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $153$ come $3^{2} \cdot 17$ .

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Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $9$ da $153$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$ vera.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Forma decimale:

$x = 7.68465843 \dots$