Precalcolo Esempi

$\log_{8} (x + 6) = 1 - \log_{8} (x + 4)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{8} (x + 6) + \log_{8} (x + 4) = 1$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((x + 6) (x + 4)) = 1$

Passaggio 3

Espandi $(x + 6) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (x (x + 4) + 6 (x + 4)) = 1$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot 4 + 6 (x + 4)) = 1$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Passaggio 4.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + 4 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\log_{8} (x^{2} + 4 x + 6 x + 24) = 1$

Passaggio 4.2

Somma $4 x$ e $6 x$ .

$\log_{8} (x^{2} + 10 x + 24) = 1$

Passaggio 5

Riscrivi $\log_{8} (x^{2} + 10 x + 24) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{1} = x^{2} + 10 x + 24$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 10 x + 24 = 8^{1}$ .

$x^{2} + 10 x + 24 = 8$

Passaggio 6.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 10 x + 24 - 8 = 0$

Passaggio 6.3

Sottrai $8$ da $24$ .

$x^{2} + 10 x + 16 = 0$

Passaggio 6.4

Scomponi $x^{2} + 10 x + 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $16$ e la cui somma è $10$ .

$2, 8$

Passaggio 6.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 2) (x + 8) = 0$

Passaggio 6.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 6.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.7

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.7.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 6.7.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 6.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x + 8) = 0$ vera.

$x = - 2, - 8$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{8} (x + 6) = 1 - \log_{8} (x + 4)$ vera.

$x = - 2$