Precalcolo Esempi

$\log_{8} (x) + \log_{8} (x - 3) = \frac{2}{3}$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} (x (x - 3)) = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot - 3) = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + x \cdot - 3) = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{8} (x^{2} - 3 x) = \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{8} (x^{2} - 3 x) = \frac{2}{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{\frac{2}{3}} = x^{2} - 3 x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 3 x = 8^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{2} - 3 x = 8^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.2

Semplifica $8^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 3.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{2} - 3 x = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 3 x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 3 x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 3 x = 2^{2}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Passaggio 3.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 4, - 1$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{8} (x) + \log_{8} (x - 3) = \frac{2}{3}$ vera.

$x = 4$