Precalcolo Esempi

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $\frac{1}{27}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{27}$ come ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Passaggio 2.2.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - \frac{1}{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - \frac{1}{3}$ uguale a $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\frac{1}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ uguale a $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $9$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 2.5.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.3

Sostituisci i valori $a = 9$ , $b = 3$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.5.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$