Precalcolo Esempi

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + 6) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

Passaggio 1.3.2

Somma $3 x$ e $6 x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $81$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $81$ da $18$ .

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 9$ e $c = - 63$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 63$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Somma $81$ e $252$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $333$ come $3^{2} \cdot 37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $9$ da $333$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ vera.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Forma decimale:

$x = 4.62414379 \dots$