Precalcolo Esempi

$\tan^{3} (x) = \tan (x)$

Passaggio 1

Sottrai $\tan (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Passaggio 2

Fattorizza $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan^{3} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) - \tan (x) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $\tan (x)$ da $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $\tan (x)$ da $\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (x)$ e $b = 1$ .

$\tan (x) ((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)) = 0$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 4.2.4

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\tan (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 5.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 5.2.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\tan (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\tan (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\tan (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = 1$

Passaggio 6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 6.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 6.2.5.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 6.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.2.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ vera.

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Combina $π n$ e $π + π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.3

Combina $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$