Precalcolo Esempi

$e^{2 x} - 4 e^{x} = 5$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{2} - 4 e^{x} = 5$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u^{2} - 4 u = 5$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $u^{2} - 4 u - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 5, 1$

Passaggio 3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $u - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $u - 5$ uguale a $0$ .

$u - 5 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 5$

Passaggio 3.5

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 5) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 5, - 1$

Passaggio 4

Sostituisci $5$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $5 = e^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (5)$

Passaggio 6

Sostituisci $- 1$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $- 1 = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Passaggio 7.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 1)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 7.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 1$

Nessuna soluzione

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (5)$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (5)$

Forma decimale:

$x = 1.60943791 \dots$