Precalcolo Esempi

$\sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{3 x^{2} - 5 x + 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 x^{2} - 5 x + 2 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $- 5$ come $- 2$ più $- 3$ .

$3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 2) - (3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{2}{3}, 1$

Passaggio 2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{2}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{2}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{2}{3} < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{2}{3} < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.83$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0.83$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(0.83)}^{2} - 5 \cdot 0.83 + 2 \geq 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 0.0833$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $30$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{2}{3}$ Vero

$\frac{2}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < \frac{2}{3}$ Vero

$\frac{2}{3} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq \frac{2}{3}$ o $x \geq 1$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{2}{3}] \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq \frac{2}{3}, x \geq 1}$

Passaggio 4