Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 11 x - 18}{x (x^{2} + 3 x + 3)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $x^{2} - 11 x - 18$ per $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (x^{2} + 3 x + 3)$ per $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Sposta $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.6.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.6.3

Sposta $3 A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x + 3 A$

Passaggio 1.6.4

Sposta $3 x A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + C x + 3 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 18 = 3 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $- 18 = 3 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = - 18$ .

$3 A = - 18$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = - 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = - 18$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $- 18$ per $3$ .

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 6$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $- 6$ .

$1 = (- 6) + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 11 = 3 A + C$ con $- 6$ .

$- 11 = 3 (- 6) + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Passaggio 3.3

Risolvi per $C$ in $- 11 = - 18 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 18 + C = - 11$ .

$- 18 + C = - 11$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 11 + 18$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 11$ e $18$ .

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $7$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- 6 + B = 1$ .

$- 6 + B = 1$

$C = 7$

$A = - 6$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + 6$

$C = 7$

$A = - 6$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $1$ e $6$ .

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 7, C = 7, A = - 6$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 5

Moltiplica $7$ per $x$ .

$\frac{- 6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$