Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x^{3} - 4 x}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 4)}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Passaggio 1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.7.2

Dividi $x^{2} + 12 x + 12$ per $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.1.2

Dividi $A ((x + 2) (x - 2))$ per $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.2

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.3

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.3.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.3.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.7

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.7.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.7.2

Dividi $(B) (x (x - 2))$ per $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.10

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.11

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.13

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.13.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.8.13.2

Dividi $(C) (x (x + 2))$ per $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

Passaggio 1.8.14

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

Passaggio 1.8.15

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

Passaggio 1.8.16

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

Passaggio 1.8.17

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

Passaggio 1.8.18

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Sposta $B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

Passaggio 1.9.2

Sposta $- 4 A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

Passaggio 1.9.3

Sposta $- 2 x B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$12 = - 4 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $12 = - 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 A = 12$ .

$- 4 A = 12$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 12$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $12$ per $- 4$ .

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B + C$ con $- 3$ .

$1 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 3 + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 + B + C = 1$ .

$- 3 + B + C = 1$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = 1 + 3$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + 3 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $4 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $12 = - 2 B + 2 C$ con $4 - C$ .

$12 = - 2 (4 - C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- 2 (4 - C) + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 = - 2 \cdot 4 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$12 = - 8 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $2 C$ e $2 C$ .

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5

Risolvi per $C$ in $12 = - 8 + 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 8 + 4 C = 12$ .

$- 8 + 4 C = 12$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 C = 12 + 8$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $12$ e $8$ .

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = 20$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Dividi $20$ per $4$ .

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Passaggio 3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $5$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 4 - C$ con $5$ .

$B = 4 - (5)$

$C = 5$

$A = - 3$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica $4 - (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$B = 4 - 5$

$C = 5$

$A = - 3$

Passaggio 3.6.2.1.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, C = 5, A = - 3$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 1}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$