Precalcolo Esempi

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{2}}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Passaggio 3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}$

Passaggio 4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.2

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x \cdot x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - (x \cdot x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 0 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 5.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ e ${(1 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $1 + x$ da $x^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $1 + x$ da ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x)}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ e ${(1 - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $1 - x$ da $x^{2} (1 - x)$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $1 - x$ da $(1 + x) {(1 - x)}^{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 7.4

Somma $1$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 8

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 9

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 11.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 11.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Passaggio 11.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Passaggio 11.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Passaggio 11.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$