Precalcolo Esempi

$\sin (\arctan (x))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\sin (\arctan (x))$ è $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$