Precalcolo Esempi

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))}^{2}$

Passaggio 2.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi ${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ come $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.3.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.4.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

Passaggio 2.3.3.1.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.3.1.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Somma $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi ${(1 + \sin (x))}^{2}$ come $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.2

Espandi $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di ${(1 + \sin (x))}^{2}$ e $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ è un'identità