Precalcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 1.2

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Passaggio 3.1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica.

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Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 3.2.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Passaggio 3.2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Passaggio 3.2.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Passaggio 3.3

Dividi $0$ per $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$