Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{8} 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ e ${(\frac{1}{5})}^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{5})}^{n}$ da ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{1}{5}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$r = \frac{1}{5}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $1$ in $5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$ .

$a = 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 1$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ per $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Passaggio 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Passaggio 5.2.2

Combina.

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ nel numeratore.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Scomponi $5$ da $5^{8}$ .

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.5

Eleva $5$ alla potenza di $7$ .

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.8

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.9

$5$ e $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.11.1

Moltiplica $5$ per $78125$ .

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.11.2

Sottrai $1$ da $390625$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

Passaggio 5.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 5.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $4$ da $390624$ .

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 5.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{97656}{78125}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{97656}{78125}$

Forma decimale:

$1.2499968$

Forma numero misto:

$1 \frac{19531}{78125}$