Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{6^{n + 1}}$ e $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $6^{n}$ e $6^{n + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $6^{n + 1}$ da $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.3.2.4

Dividi $6^{n - (n + 1)}$ per $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Passaggio 2.2.6

Sottrai $1$ da $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Passaggio 2.2.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $0$ in $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$a = 1$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ per $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Passaggio 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Passaggio 5.2.2

Combina.

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{6}$ nel numeratore.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ nel numeratore.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Scomponi $6$ da $6^{9}$ .

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.5

Eleva $6$ alla potenza di $8$ .

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.8

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.9

$6$ e $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.11.1

Moltiplica $6$ per $1679616$ .

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5.11.2

Sottrai $1$ da $10077696$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

Passaggio 5.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 5.8

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $5$ da $10077695$ .

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 5.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2015539}{1679616}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2015539}{1679616}$

Forma decimale:

$1.19999988 \dots$

Forma numero misto:

$1 \frac{335923}{1679616}$