Precalcolo Esempi

$y^{2} - 3 y - x + 4 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 1.1

Isola $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y - x + 4 = - y^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x + 4 = - y^{2} + 3 y$

Passaggio 1.1.1.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - y^{2} + 3 y - 4$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - y^{2} + 3 y - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$x = y^{2} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{3 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (3 y)$ come $- (3 y)$ .

$x = y^{2} - (3 y) + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.6

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + 4$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $y^{2} - 3 y + 4$ .

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Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 4$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$e = 4 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 4 - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.3

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{4 \cdot 4 - 9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.4.2.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = \frac{16 - 9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Sottrai $9$ da $16$ .

$e = \frac{7}{4}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{7}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, \frac{3}{2})$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(\frac{7}{4}, \frac{3}{2})$

Fuoco: $(2, \frac{3}{2})$

Asse di simmetria: $y = \frac{3}{2}$

Direttrice: $x = \frac{3}{2}$

Passaggio 10