Precalcolo Esempi

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y - 89 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $89$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $16 x^{2} - 64 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 64$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 32}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 64$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $4096$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 0 - 64$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$e = - 64$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

Passaggio 1.3

Sostituisci $16 x^{2} - 64 x$ con $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ nell'equazione $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} - 18 y = 89$

Passaggio 1.4

Sposta $- 64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 18 y = 89 + 64$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 9 y^{2} - 18 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (- 9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $324$ per $- 36$ .

$e = 0 - - 9$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$e = 9$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ .

$- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 9 y^{2} - 18 y$ con $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ nell'equazione $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} + 9 = 89 + 64$

Passaggio 1.7

Sposta $9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 89 + 64 - 9$

Passaggio 1.8

Semplifica $89 + 64 - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $89$ e $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 153 - 9$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $9$ da $153$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 144$

Passaggio 1.9

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, - 1)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $16$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5, - 1)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 1, - 1)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(5, - 1), (- 1, - 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(7, - 1)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, - 1)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(7, - 1), (- 3, - 1)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Somma $9$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{4^{2}}{5}$

Passaggio 9.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{5}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{4}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{4}{3}$ e $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 2}{3} - 1$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8}{3} - 1$

Passaggio 11.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 3}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $3$ da $- 8$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 11}{3}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3}) - 1$

Passaggio 12.2.1.4.2

$2$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} - 1$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} - 1$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 3}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, - 1)$

Vertici: $(5, - 1), (- 1, - 1)$

Fuochi: $(7, - 1), (- 3, - 1)$

Eccentricità: $\frac{5}{3}$

Asse focale: $\frac{16}{5}$

Asintoti: $y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 15