Precalcolo Esempi

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{40} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{40} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 7$

$b = 2 \sqrt{10}$

$k = 2$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - {(2 \sqrt{10})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{49 - (2^{2} {\sqrt{10}}^{2})}$

Passaggio 5.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - (4 {\sqrt{10}}^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{49 - 1 \cdot 4 \cdot 10^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10)}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- (4 \cdot 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $10$ .

$\sqrt{49 - 1 \cdot 40}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $40$ .

$\sqrt{49 - 40}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $40$ da $49$ .

$\sqrt{9}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(2 + 7, 2)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(9, 2)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(2 - (7), 2)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 5, 2)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2 + 3, 2)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(5, 2)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2 - (3), 2)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- 1, 2)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - {(2 \sqrt{10})}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{10}$ .

$\frac{\sqrt{49 - (2^{2} {\sqrt{10}}^{2})}}{7}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - (4 {\sqrt{10}}^{2})}}{7}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{49 - (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{7}$

Passaggio 8.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{7}$

Passaggio 8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}}{7}$

Passaggio 8.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}}{7}$

Passaggio 8.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 4 \cdot 10^{1}}}{7}$

Passaggio 8.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10)}}{7}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $- (4 \cdot 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Moltiplica $4$ per $10$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 40}}{7}$

Passaggio 8.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $40$ .

$\frac{\sqrt{49 - 40}}{7}$

Passaggio 8.3.6

Sottrai $40$ da $49$ .

$\frac{\sqrt{9}}{7}$

Passaggio 8.3.7

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{7}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(2, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

Eccentricità: $\frac{3}{7}$

Passaggio 10