Precalcolo Esempi

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{80} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{64} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{80} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{64} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4 \sqrt{5}$

$b = 8$

$k = 1$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 1)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{16 \cdot 5^{1} - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{16 \cdot 5 - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $16$ per $5$ .

$\sqrt{80 - {(8)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{80 - 1 \cdot 64}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\sqrt{80 - 64}$

Passaggio 5.3.3.4

Sottrai $64$ da $80$ .

$\sqrt{16}$

Passaggio 5.3.3.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 2 + 4 \sqrt{5}, 1)$

Passaggio 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 2 - (4 \sqrt{5}), 1)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(- 2 - 4 \sqrt{5}, 1)$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 4 \sqrt{5}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 4 \sqrt{5}, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 4 \sqrt{5}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 4 \sqrt{5}, 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 2 + 4, 1)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(2, 1)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 2 - (4), 1)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- 6, 1)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6, 1)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{1} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $16$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{80 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{80 - 1 \cdot 64}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\frac{\sqrt{80 - 64}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $64$ da $80$ .

$\frac{\sqrt{16}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.8

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 8.3.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 8.3.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 8.3.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(- 2, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2 + 4 \sqrt{5}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 - 4 \sqrt{5}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 6, 1)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 10