Precalcolo Esempi

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3) + \ln (x) - \ln (x^{2} - 1))$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \ln (x + 3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Passaggio 2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}}))$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}))$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln ({(x + 3)}^{2} \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 4

${(x + 3)}^{2}$ e $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 5

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 3)}^{2} x)}^{\frac{1}{3}}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a ${(x + 3)}^{2} x$ .

$\ln (\frac{{({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 7

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$