Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 {(x + 2)}^{2} - 7$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 3$

$h = - 2$

$k = - 7$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 2, - 7)$

Passaggio 1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{12}$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, - \frac{83}{12})$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 2$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{85}{12}$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 2, - 7)$

Fuoco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Asse di simmetria: $x = - 2$

Direttrice: $y = - \frac{85}{12}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 2, - 7)$

Fuoco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Asse di simmetria: $x = - 2$

Direttrice: $y = - \frac{85}{12}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 5$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = 3 \cdot 9 + 12 (- 3) + 5$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- 3) = 27 + 12 (- 3) + 5$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $12$ per $- 3$ .

$f (- 3) = 27 - 36 + 5$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $36$ da $27$ .

$f (- 3) = - 9 + 5$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$f (- 3) = - 4$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 3$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 5$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 16 + 12 (- 4) + 5$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (- 4) = 48 + 12 (- 4) + 5$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $12$ per $- 4$ .

$f (- 4) = 48 - 48 + 5$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $48$ da $48$ .

$f (- 4) = 0 + 5$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $5$ .

$f (- 4) = 5$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 4$ è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 5$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 + 12 (- 1) + 5$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = 3 + 12 (- 1) + 5$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 3 - 12 + 5$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $12$ da $3$ .

$f (- 1) = - 9 + 5$

Passaggio 2.8.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$f (- 1) = - 4$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} + 12 (0) + 5$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 12 (0) + 5$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 12 (0) + 5$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Passaggio 2.11.2.2

Somma $0$ e $5$ .

$f (0) = 5$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 0$ è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 2, - 7)$

Fuoco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Asse di simmetria: $x = - 2$

Direttrice: $y = - \frac{85}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

Passaggio 4