Precalcolo Esempi

$y = 3 \cos (\frac{1}{3} x)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 3$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo di $3 \cos (\frac{x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 3$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $0 \cdot 3$

Passaggio 4.4

Moltiplica $0$ per $3$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $6 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 \cos (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Dividi $0$ per $3$ .

$f (0) = 3 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3 π$ nell'espressione.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (3 π) = 3 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (3 π) = 3 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.4

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (3 π) = - 3$

Passaggio 6.3.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{9 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 0$

Passaggio 6.4.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6 π$ nell'espressione.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Passaggio 6.5.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Passaggio 6.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.1.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (6 π) = 3 \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (6 π) = 3 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (6 π) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (6 π) = 3$

Passaggio 6.5.2.5

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & - 3 \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & 3 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $6 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & - 3 \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & 3 \end{array}$

Passaggio 8