Precalcolo Esempi

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $4$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 3.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 3.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

Sfasamento: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

Sfasamento: $\frac{π}{9}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $4$

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ a destra)

Traslazione verticale: $1$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.4

Dividi $0$ per $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 6.1.2.1.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{π}{9}) = 1$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{18}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{18}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Sottrai $2 π$ da $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

Passaggio 6.2.2.1.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{4 π}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.3

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 6.3.2.1.7

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{11 π}{18}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{11 π}{18}$ nell'espressione.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.2

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Sottrai $2 π$ da $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.9

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.4.2.1.9.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{7 π}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.3

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.4.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 6.5.2.1.7

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $4$

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ a destra)

Traslazione verticale: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Passaggio 8