Precalcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Passaggio 1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Dividi $2$ per $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $4$ per $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.3

$- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.5.2

Sottrai $1$ da $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{13}{2}$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, - 6)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 1$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - 7$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - \frac{13}{2})$

Fuoco: $(1, - 6)$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - 7$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - \frac{13}{2})$

Fuoco: $(1, - 6)$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - 7$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scrivi $- (0)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $\frac{- (0)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{- (0)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Passaggio 3.2.1.4

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $- (0) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Dividi $- 12$ per $2$ .

$f (0) = - 6$

Passaggio 3.2.5

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Scrivi $- (- 1)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $\frac{- (- 1)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $\frac{- (- 1)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Passaggio 3.5.1.4

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.5.1.6

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $- (- 1) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.3.3

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Passaggio 3.5.4.2

Sottrai $12$ da $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Passaggio 3.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.5.5

La risposta finale è $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Scrivi $- (2)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $\frac{- (2)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Passaggio 3.8.1.3

Moltiplica $\frac{- (2)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Passaggio 3.8.1.4

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.8.1.6

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8.3.2

Moltiplica $- (2) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8.3.3

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Passaggio 3.8.4.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Passaggio 3.8.4.3

Dividi $- 12$ per $2$ .

$f (2) = - 6$

Passaggio 3.8.5

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Scrivi $- (4)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $\frac{- (4)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Passaggio 3.11.1.3

Moltiplica $\frac{- (4)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Passaggio 3.11.1.4

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Passaggio 3.11.1.5

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.11.1.6

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.3.2

Moltiplica $- (4) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.3.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.11.3.3

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Sottrai $8$ da $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Passaggio 3.11.4.2

Sottrai $12$ da $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.11.4.3

Dividi $- 4$ per $2$ .

$f (4) = - 2$

Passaggio 3.11.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 4$ è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - \frac{13}{2})$

Fuoco: $(1, - 6)$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Passaggio 5