Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$

Passaggio 1

Scomponi $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 1.3.6

Somma $0.\overline{1}$ e $0.\overline{2}$ .

$0.\overline{3} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 19$ per $0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 6.33333333 + 6$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $6.33333333$ da $0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6}{3 x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ per $3 x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$19 x$

$6$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 18 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 18 x + 6$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x - 6$

Passaggio 1.6

Scrivi $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ come insieme di fattori.

$f (x) = (3 x - 1) (x^{2} + x - 6)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = (3 x - 1) ((x - 2) (x + 3))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (3 x - 1) (x - 2) (x + 3)$