Precalcolo Esempi

$y^{2} = - \frac{1}{4} x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{4} x = y^{2}$ .

$- \frac{1}{4} x = y^{2}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} x) = - 4 y^{2}$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $- 4 (- \frac{1}{4} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{x}{4}) = - 4 y^{2}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{4}$ nel numeratore.

$- 4 \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Passaggio 3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Passaggio 3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - 4 y^{2}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - 4 y^{2}$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - 4 y^{2}$

Passaggio 4

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Completa il quadrato per $- 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 4.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 4.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 4.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 4.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- 4)}$

Passaggio 4.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 4.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$d = \frac{4 (0)}{- 4}$

Passaggio 4.1.1.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 4.1.1.3.2.3

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 4.1.1.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 4.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 4.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 4.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 16}$

Passaggio 4.1.1.4.2.1.3

Dividi $0$ per $- 16$ .

$e = 0 - 0$

Passaggio 4.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 0 + 0$

Passaggio 4.1.1.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$e = 0$

Passaggio 4.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2}$

Passaggio 4.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - 4 y^{2}$

Passaggio 4.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 4$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 4.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 4.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 4.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Passaggio 4.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{16}$

Passaggio 4.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 4.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{1}{16}, 0)$

Passaggio 4.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 0$

Passaggio 4.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 4.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{1}{16}$

Passaggio 4.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{1}{16}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{1}{16}$

Passaggio 5

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, 0.70710678)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{\sqrt{- (- 2)}}{2}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.1.2.2

La risposta finale è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.1.3

Converti $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= 0.70710678$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, - 0.70710678)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - \frac{\sqrt{- (- 2)}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

La risposta finale è $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Converti $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= - 0.70710678$

Passaggio 5.3

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 0.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{\sqrt{- (- 1)}}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{1}}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3

Converti $\frac{1}{2}$ in decimale.

$= 0.5$

Passaggio 5.4

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, - 0.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{- (- 1)}}{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{1}}{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.2.2

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3

Converti $- \frac{1}{2}$ in decimale.

$= - 0.5$

Passaggio 5.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.71 \\ - 2 & - 0.71 \\ - 1 & 0.5 \\ - 1 & - 0.5 \\ 0 & 0 \end{array}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{1}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.71 \\ - 2 & - 0.71 \\ - 1 & 0.5 \\ - 1 & - 0.5 \\ 0 & 0 \end{array}$

Passaggio 7