Precalcolo Esempi

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x + 4 y - 4 = - y^{2}$

Passaggio 1.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x - 4 = - y^{2} - 4 y$

Passaggio 1.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$

Passaggio 2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.3.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Completa il quadrato per $\frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Passaggio 3.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 1 \cdot 2$

Passaggio 3.1.1.3.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 3.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.3

Dividi $4$ per $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = - 1 - 1$

Passaggio 3.1.1.4.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$e = - 2$

Passaggio 3.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$

Passaggio 3.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 2)}^{2} - 2$

Passaggio 3.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica dividendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Dividi $4$ per $4$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 1, - 2)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 2$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 3$

Passaggio 3.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 2, - 2)$

Fuoco: $(- 1, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = - 3$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 2, - 2)$

Fuoco: $(- 1, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = - 3$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 4.1.3

Converti $0$ in decimale.

$= 0$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f (- 1) = - 4$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 4.2.3

Converti $- 4$ in decimale.

$= - 4$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . In questo caso, il punto è $(0, 0.82842712)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.2.2

La risposta finale è $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3

Converti $- 2 + 2 \sqrt{2}$ in decimale.

$= 0.82842712$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . In questo caso, il punto è $(0, - 4.82842712)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.2

La risposta finale è $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.3

Converti $- 2 - 2 \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 4.82842712$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 2, - 2)$

Fuoco: $(- 1, - 2)$

Asse di simmetria: $y = - 2$

Direttrice: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Passaggio 6