Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6^{1} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{6 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{6 + 16}$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $6$ e $16$ .

$\sqrt{22}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{6}, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{22}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{22}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6^{1} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{6 + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 16}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma $6$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.2

Combina $\sqrt{22}$ e $\sqrt{6}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{22}{6}}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $22$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$\sqrt{\frac{2 (11)}{6}}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{11}{3}}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{11}{3}}$ come $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.3.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.6.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.3.6.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 8.3.7.2

Moltiplica $11$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{33}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{22}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{16}{\sqrt{22}}$ per $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{16}{\sqrt{22}}$ per $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{22}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{22}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{22}}^{2}$ come $22$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{22}$ come $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $16$ e $22$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $2$ da $16 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{22}$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 (11)}$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 \cdot 11}$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Passaggio 11.2

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$

Passaggio 12

Semplifica $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{6})}{3}$

Passaggio 12.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}, y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Fuochi: $(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{33}}{3}$

Asse focale: $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Asintoti: $y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 15