Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y - 12 = 0$

Passaggio 1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $4 x^{2} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 24$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (4)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{12}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Dividi $576$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Passaggio 2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$e = 0 - 36$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$e = - 36$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36$

Passaggio 3

Sostituisci $4 x^{2} + 24 x$ con $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ nell'equazione $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36 + 16 y^{2} - 32 y = 12$

Passaggio 4

Sposta $- 36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 12 + 36$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $16 y^{2} - 32 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 16}{16}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $- 32$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Dividi $1024$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ .

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

Passaggio 6

Sostituisci $16 y^{2} - 32 y$ con $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ nell'equazione $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 12 + 36$

Passaggio 7

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 12 + 36 + 16$

Passaggio 8

Semplifica $12 + 36 + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma $12$ e $36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 48 + 16$

Passaggio 8.2

Somma $48$ e $16$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 64$

Passaggio 9

Dividi per $64$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(x + 3)}^{2}}{64} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Passaggio 10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$