Precalcolo Esempi

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y - 44 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $44$ a entrambi i lati dell'equazione.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $25 x^{2} - 100 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 50}{25}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 50$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 100$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $10000$ per $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$e = 0 - 100$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $100$ da $0$ .

$e = - 100$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Passaggio 1.3

Sostituisci $25 x^{2} - 100 x$ con $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ nell'equazione $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 54 y = 44$

Passaggio 1.4

Sposta $- 100$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $100$ a entrambi i lati.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = 44 + 100$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $9 y^{2} + 54 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{27}{9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $2916$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$e = 0 - 81$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $81$ da $0$ .

$e = - 81$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Passaggio 1.6

Sostituisci $9 y^{2} + 54 y$ con $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ nell'equazione $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = 44 + 100$

Passaggio 1.7

Sposta $- 81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 44 + 100 + 81$

Passaggio 1.8

Semplifica $44 + 100 + 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $44$ e $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 144 + 81$

Passaggio 1.8.2

Somma $144$ e $81$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

Passaggio 1.9

Dividi per $225$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, - 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $9$ da $25$ .

$\sqrt{16}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(2, - 3 + 5)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(2, 2)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(2, - 3 - (5))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(2, - 8)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2, - 3 + 4)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(2, 1)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(2, - 3 - (4))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(2, - 7)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $9$ da $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4}{5}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

Eccentricità: $\frac{4}{5}$

Passaggio 10