Precalcolo Esempi

$(\sqrt{3} + \sqrt{15 i}) (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Passaggio 1

Espandi $(\sqrt{3} + \sqrt{15 i}) (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{15 i})$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$3 - \sqrt{3 (15 i)} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $15$ .

$3 - \sqrt{45 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $45 i$ come $3^{2} \cdot (5 i)$ .

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Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$3 - \sqrt{9 (5) i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.6.3

Aggiungi le parentesi.

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot (5 i)} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$3 - (3 \sqrt{5 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i \cdot 3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $3$ per $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{45 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $45 i$ come $3^{2} \cdot (5 i)$ .

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Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{9 (5) i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.11.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{3^{2} \cdot 5 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.11.3

Aggiungi le parentesi.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{3^{2} \cdot (5 i)} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $\sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$ .

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Passaggio 2.1.13.1

Eleva $\sqrt{15 i}$ alla potenza di $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - ({\sqrt{15 i}}^{1} \sqrt{15 i})$

Passaggio 2.1.13.2

Eleva $\sqrt{15 i}$ alla potenza di $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - ({\sqrt{15 i}}^{1} {\sqrt{15 i}}^{1})$

Passaggio 2.1.13.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {\sqrt{15 i}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.1.13.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {\sqrt{15 i}}^{2}$

Passaggio 2.1.14

Riscrivi ${\sqrt{15 i}}^{2}$ come $15 i$ .

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Passaggio 2.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15 i}$ come ${(15 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {({(15 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.14.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.1.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{1}$

Passaggio 2.1.14.5

Semplifica.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - (15 i)$

Passaggio 2.1.15

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - 15 i$

Passaggio 2.2

Somma $- 3 \sqrt{5 i}$ e $3 \sqrt{5 i}$ .

$3 + 0 - 15 i$

Passaggio 2.3

Somma $3$ e $0$ .

$3 - 15 i$